本文目录一览：
- 1、第二数学归纳法是什么？
- 2、第一，第二数学归纳法
- 3、数学的第二归纳法的定义
第二数学归纳法是什么？
第二数学归纳法第二数学归纳法可以概括为
详细地说，它分为以下三步：
(1)奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：设n≤k时命题成立
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
第一，第二数学归纳法
第一数学归纳法可以概括为以下三步：
(1)归纳奠基：证明n=1时命题成立；
(2)归纳假设：假设n=k时命题成立；
(3)归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
扩展资料：
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可。
数学归纳法的原理，通常被规定作为自然数公理（参见皮亚诺公理）。但是在另一些公理的基础上，它可以用一些逻辑方法证明。数学归纳法原理可以由下面的良序性质（最小自然数原理）公理可以推出：
自然数集是良序的。（每个非空的正整数集合都有一个最小的元素）
比如{1, 2, 3 , 4, 5}这个正整数集合中有最小的数——1.
下面我们将通过这个性质来证明数学归纳法：
对于一个已经完成上述两步证明的数学命题，我们假设它并不是对于所有的正整数都成立。
对于那些不成立的数所构成的集合S，其中必定有一个最小的元素k。（1是不属于集合S的，所以k1）
k已经是集合S中的最小元素了，所以k-1是不属于S，这意味着k-1对于命题而言是成立的——既然对于k-1成立，那么也对k也应该成立，这与我们完成的第二步骤矛盾。所以这个完成两个步骤的命题能够对所有n都成立。
注意到有些其它的公理确实是数学归纳法原理的可选的公理化形式。更确切地说，两者是等价的。
参考资料：百度百科——数学归纳法
数学的第二归纳法的定义
详见
数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的探讨，旨在加深对数学归纳法的认识。
编辑本段原理
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
编辑本段证明
用反证法证明。
假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。
当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。
对于证明过程的第一个步骤即n＝1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n＝1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n＝k＋1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n＝k＋1时成立是利用了假设条件；等式在n＝k及n＝k－1时均需成立。同样地，例2也不例外，只是形式的把n＝k及n＝k－1分别代换成了n＝k－1和n＝k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n＝k＋1时的成立问题转化为验证命题在n＝k－2＋1时的成立问题。换言之，使命题在n＝k＋1成立的必要条件是命题在n＝k－2＋1时成立，根据1的取值范围，而命题在n＝k－k＋1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n＝k＋1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。不过一般说来，没有任何必要这样做。
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。
