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平方求和的公式
2平方和公式数学公式平方和公式是一个比较常用公式，用于求 连续自然数 的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥 数 ，或 金字塔数 （square pyramidal number）也就是 正方形数 的级数。此公式是 冯哈伯公式 (Faulhaber's formula)的一个特例。中文名平方和公式外文名Sum of Squar
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4.0万播放 | 06:00初中 完全平方和公式(1)查看更多快速导航证明方法公式利用此公式可求得前n项平方和为：n前n项平方和n前n项平方和n前n项平方和n前n项平方和n前n项平方和116911150616149621331125714012650171785223795展开全部n=26，27，28，29......时前n项平方和为：6201, 6930, 7714, 8555, 9455,10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140,23821, 25585, 27434, 29370…… [1]证明方法证法一 （归纳猜想法）：1、  时， 2、设  （k为正整数） 时，公式成立，即 则当  时，也满足公式。根据 数学归纳法 ，对一切自然数n有  成立。证法二 （利用恒等式  ）： ，………… .求和得： ,由于  （可由倒序求和得到）,代入上式得：整理后得：证法三 （ 排列组合法 ）：由于  ，因此我们有 = 由于  ，  ，于是我们有 证法四 （拆分，直接推导法1）：1=12 2 =1+33 2 =1+3+54 2 =1+3+5+7...(n-1) 2 =1+3+5+7+...+[2(n-1)-1]n 2 =1+3+5+7+...+[2n-1]求和得： ……(*)因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n 2代入(*)式，得： 此式即证法五（拆分，直接推导法2）：1 2 =12 2 =1+ 1+1·23 2 =1+ 1+1·2+ 1+2·2...（n-1） 2 = 1+1+1 ·2+1+2·2+......+1+（n-2）·2n 2 = 1+1+1·2+1+2·2+...+1+ (n-1）·2=1 + ( 1+1 ·2) +（1+1·2+1+2·2）+...+ [1+1+1·2+...+(n-1)·2]=(1+1+1+...+1){n个} +（1+1+1+..+1){(n-1)个}+(2·1)(n-1)+...+1+2(n-1)=[n+(n-1)+(n-2)+...+1]+[2(n-1)+2(n-2)+...+2n]-[2·1 2 +2·2 2 +...+2·(n-1) 2 ]=n(n-1)/2+2n[(n-1)+(n-2)+...+1]-2[1 2 +2 2 +...+(n-1) 2 ]得到：所以，参考资料[1] The first few square pyramidal numbers．OEIS [引用日期2016-04-25]点击加载更多 分享你的世界我要说10人次讨论 6帖子标准方差能否理解平均值偏差，有偏差就有±之分，则：x-S.x.x+S
平方和的求和公式
平方和公式n（n+1）（2n+1）/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6（注：=N^2=N的平方）。平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。
什么是平方
平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a。代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，平方也可视为求指数为2的幂的值。
常用平方根
√0=0（表示根号0等于0，下同）
√1=1
√2=1.4142135623731
√3=1.73205080756888
√4=2
√5=2.23606797749979
√6=2.44948974278318
√7=2.64575131106459
√8=2.82842712474619
√9=3
√10=3.16227766016838
平方求和公式 急
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
自然数的平方和公式有哪些?
从1开始到n连续自然数平方求和公式：n(n+1)(2n+1)/6。
用数学归纳法：
n=1时，1=1*2*3/6=1成立
假设n=k时也成立，那么k(k+1)(2k+1)/6=1²+2²+...+k²
那么n=k+1
1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²=(k+1)(2k²+k+6k+6)=(k+1)*(2k²+7k+6)=(k+1)(k+2)(2k+3)
=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
所以1²+2²+...+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²/6
=（k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6
即n=k+1时，也成立；
所以：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。
应用
1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式。
第1条射线和其它射线组成（n-1）个角，第2条射线跟余下的其它射线组成（n-2）个角，依此类推得到式子。1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2。
3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应用了自然数列的前n项和公式。
第1个点和其它点组成（n-1）条线段，第2个点跟余下的其它点组成（n-2）条线段，依此类推同样可以得到式子。1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2。
平方求和公式
平方和公式如下：
平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。
扩展资料：
平方和公式证明：
拆分，直接推导法：
1=1
2²=1+3
3²=1+3+5
4²=1+3+5+7
…
(n-1)²=1+3+5+7+…+[2(n-1)-1]
n²=1+3+5+7+…+[2n-1]
求和得：
……(*)
因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²
n平方的求和公式
n平方的求和公式：（n+1）³-n³=3n²+3n+12³-1³。平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。
平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a，简写成a²，也可写成a×a（a的一次方乘a的一次方等于a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符号为2。
