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离散数学关于上界和下界,上确界和下确界的区别
1、上确界的定义：首先上确界一定是一个上界，在上界的基础上进一步缩小，直到不是上界为止，这个临界点就是上确界，也就是说上确界是一个最小上界。
2、有上界的最小元素称为最小上界；下界的最大值元素称为最大下界；就像这幅图一样，如果你想找到b和d上的最小上界，你必须找到b和d上的上界，而b和d上的唯一上界是f。
3、性质不同 上界是一个与偏序集有关的特殊元素，指的是偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。上确界性质是一个序性质。个数不同 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
4、上界的最小元就叫最小上界；下界的最大元叫最大下界；就像在这个图中，如果找b，d的最小上界，就要先找到b，d的上界，b，d上界的点只有f。上界中的最小元只能是f；如果找d，e的最大下界，d，e的下界有a，b，c。
证明下确界
1、证明：n=1时，-1∈E。n=2时，1/2∈E。n≥3时，显然有-1 -1/n = -|(-1)^n/n| ≤(-1)^n/n ≤ |(-1)^n/n| = 1/n 1/2。因而，E中的元素最大的为1/2，最小的为-1。
2、假定下确界有两个，记为b1，b根据下确界的性质，有b1=b2； 同理b2=b所以b1=b故下确界唯一。
3、用单调有界定理证明确界定理 证明：已知实数集A非空。
4、根据定义证明即可。N项后，所有数列项都大于M， 然后前N项的最小值为M， 取M和M的最小值为L， 它就是一个下界。如果L=M， 它就是下确界。
大学高等数学的上确界,下确界以及无界的含义
上确界的定义：首先上确界一定是一个上界，在上界的基础上进一步缩小，直到不是上界为止，这个临界点就是上确界，也就是说上确界是一个最小上界。
上确界是一个集合的最小上界。若数集S为实数集R的子集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界是一个集合的最小上界。下确界是与上确界相对偶的概念，指的是一个集合的最大下界。
最大值,最小值与上确界,下确界
1、一个实数集合A，若有一个实数m， 使得A中的任何数都不超过m，那么就称m是A的一个上界。在所有的那些上界中，如果有一个最小的上界，就称为A的上确界。确界定理：任何上界(下界)的非空实数集必存在上确界(下确界)。
2、所以1是这个函数的一个下界，2是这个函数的一个上界 而且，所有的下界中，1是最大的 所有的上界中，2是最小的。
3、简单地说，函数的最大值和最小值都是函数能取到的值，联系是最大值一定小于等于上界，最小值一定大于等于下界。
4、即：supA是A的所有上界组成的集合的最小元（若存在）。A的上确界亦被记为sup(A)，lubA，LubA或∨A。上确界在序理论中的对偶概念是下确界。并非所有的A都能找到上确界。
确界原理
确界原理：任一有上界的非空实数集必有上确界（最小上界）；同样任一有下界的非空实数集必有下确界（最大下界）。实数的这个性质是波尔查诺(Bolzano，B.)于1817年发现的。
确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数连续性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。有界集定义 定义一：设S为R的一个数集。
非E的上界）。又设m，m均为E的上确界，则有m≥m，m≥m，故m=m，上确界具有唯一性。同理可得下确界定义及其唯一性。确界原理：任意非空集合E∈R若有上界/下界，则其必有上确界/下确界 。
